万理百知 · 数学全领域 从算术到拓扑，从数论到密码学 · 计划收录 2,360 个知识点（13 大类 · 40 中类）
算术与初等数学 (210)
数系基础 （42个）
自然数整数有理数实数复数绝对值数轴区间进制与位值制二进制八进制十六进制质数与合数质因数分解算术基本定理最大公因数最小公倍数互质同余与模运算带余除法阶乘排列组合斐波那契数列完全数亲和数平方根立方根n次方根二次根式分母有理化整数指数幂分数指数幂幂运算恒等式科学记数法可数集不可数集二元均值不等式三角不等式实数完备性素数定理初等形式
初等代数 （68个）
代数式单项式多项式因式分解平方差恒等式完全平方恒等式立方和恒等式立方差恒等式有理分式繁分式等式公理一元一次方程二元一次方程组三元一次方程组一元二次方程分式方程根式方程高次整式方程代数基本定理不等式基础公理一元一次不等式一元一次不等式组一元二次不等式绝对值不等式根式不等式齐次式对称式换元法原理配方法作差比较法作商比较法韦达定理判别式多项式零点理论映射与函数一次函数正比例函数反比例函数二次函数幂函数函数定义域函数值域单调函数奇函数偶函数周期函数复合函数反函数任意角弧度制单位圆三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数同角三角恒等式三角诱导公式和差角公式二倍角公式辅助角公式正弦定理余弦定理三角形面积正弦公式正弦型函数反三角函数数列通用理论等差数列等比数列二项式定理数学归纳法
平面几何 （45个）
欧氏几何公理体系点线面基础线段射线角角度度量余角补角对顶角角平分线平行线垂直与垂线同位角内错角同旁内角三角形三角形内角和定理三角形三边不等式等腰三角形等边三角形直角三角形勾股定理三角形的高三角形中线三角形重心三角形内心三角形外心三角形垂心三角形中位线全等三角形相似三角形海伦公式四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形n边形内角和定理n边形外角和定理正多边形圆圆心角定理圆周角定理垂径定理切线定理切线长定理圆幂定理圆内接四边形圆外切四边形扇形弓形点线圆位置关系两圆位置关系几何对称变换等积变换
平面解析几何 （28个）
平面直角坐标系两点距离公式中点公式定比分点公式点的对称变换直线倾斜角直线斜率直线方程点到直线距离两直线位置关系圆的标准方程直线与圆的位置关系圆锥曲线统一定义椭圆双曲线抛物线离心率圆锥曲线焦点圆锥曲线准线坐标系平移变换数形结合思想曲线与方程多边形坐标求面积弦中点定理二次曲线分类线性规划基础参数方程极坐标基础
立体几何 （27个）
空间点线面公理空间直线位置关系异面直线线面平行线面垂直面面平行面面垂直二面角棱柱直棱柱长方体正方体棱锥正棱锥圆柱圆锥圆台球体球截面多面体欧拉公式旋转体柱体体积公式锥体体积公式空间直角坐标系空间两点距离三垂线定理几何体表面积相似几何体比例规律
代数学 (380)
线性代数 （120个）
行列式矩阵向量向量空间线性变换特征值特征向量相似矩阵对角化二次型正定矩阵线性方程组克莱姆法则高斯消元法矩阵的秩零空间列空间行空间正交矩阵正交变换格拉姆-施密特正交化伴随矩阵逆矩阵分块矩阵矩阵的迹矩阵范数向量范数内积空间外积混合积线性相关线性无关基与维数坐标变换过渡矩阵线性映射核与像同构不变子空间若尔当标准形最小多项式特征多项式凯莱-哈密顿定理酉矩阵厄米矩阵正规矩阵奇异值分解伪逆矩阵LU分解QR分解Cholesky分解矩阵函数线性空间公理欧氏空间酉空间辛空间双线性型对称双线性型反对称双线性型二次型标准形惯性定理合同变换矩阵合同矩阵等价矩阵相似线性方程组解的结构基础解系通解特解齐次线性方程组非齐次线性方程组超平面仿射空间凸集线性规划对偶张量初步张量积外代数克利福德代数旋量李代数初步线性群一般线性群特殊线性群正交群酉群辛群
抽象代数 （140个）
群论环论域论模论格论半群幺半群群公理子群正规子群商群群同态群同构同态基本定理循环群置换群对称群交错群二面体群群的直积群的半直积群作用轨道与稳定子西罗定理有限生成阿贝尔群自由群群表示特征标环公理子环理想商环环同态整环除环域主理想整环欧几里得整环唯一分解整环诺特环阿廷环局部环半局部环多项式环幂级数环矩阵环分式环局部化整扩张诺特正规化希尔伯特基定理域扩张代数扩张超越扩张有限扩张分裂域正规扩张可分扩张伽罗瓦理论伽罗瓦群伽罗瓦对应有限域局部域整体域p进数赋值论模的定义子模商模模同态自由模投射模内射模平坦模诺特模阿廷模张量积模双模模范畴同调代数初步正合列投射分解内射分解导出函子Ext函子Tor函子同调群上同调群格的定义分配格模格布尔格布尔代数
交换代数与同调代数 （70个）
交换环素理想极大理想根理想幂零根雅各布森根分式理想可逆理想戴德金整环赋值环离散赋值环完备化adic拓扑希尔伯特零点定理仿射代数集理想的根准素分解相伴素理想高度维数理论克鲁尔维数正则局部环科恩-麦考利环戈伦斯坦环同调维数投射维数内射维数平坦维数整体维数谱序列导出范畴三角范畴复形同调函子上同调函子杯积卡积群同调群上同调李代数同调霍赫希尔德同调循环同调代数K理论拓扑K理论
李群与李代数 （50个）
李群李代数指数映射伴随表示李代数理想可解李代数幂零李代数半单李代数单李代数嘉当子代数根系权系邓金图复半单李代数分类典型李代数例外李代数李群表示李代数表示不可约表示完全可约性舒尔引理权格根格外尔群紧李群齐性空间对称空间酉群表示正交群表示辛群表示旋表示旋量群例外李群
几何学 (320)
欧氏几何进阶 （60个）
三角形五心体系九点圆欧拉线费马点西姆松线托勒密定理梅涅劳斯定理塞瓦定理帕斯卡定理布里安桑定理笛沙格定理帕普斯定理调和分割极点与极线反演变换仿射变换射影变换相似变换位似变换合同变换平移变换旋转变换反射变换对称群正多面体柏拉图立体阿基米德立体平面镶嵌空间镶嵌根轴根心共轴圆系莫比乌斯变换分式线性变换双曲几何模型球面几何球面三角高斯-博内定理初等形式曲率初步测地线初步
解析几何进阶 （70个）
空间直角坐标系空间向量数量积向量积混合积空间直线方程空间平面方程点到平面距离两平面位置关系直线与平面位置关系空间曲面空间曲线柱面锥面旋转曲面二次曲面椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面二次锥面空间曲线的投影母线准线仿射坐标系射影坐标系齐次坐标射影平面无穷远点对偶原理二次曲线射影分类二次曲线仿射分类配极变换对合直射变换二次曲面分类二次曲面不变量二次曲面主方向二次曲面径面二次曲面中心二次曲面切平面法向量曲线切线曲线法平面弧长元素曲面面积元素
微分几何 （110个）
曲线论曲面论向量函数正则曲线弧长参数曲率挠率弗雷内标架弗雷内公式平面曲线空间曲线闭曲线凸曲线等周不等式四顶点定理正则曲面曲面第一基本形式曲面度量等距变换共形变换曲面第二基本形式法曲率主曲率高斯曲率平均曲率主方向曲率线渐近线测地线测地曲率测地挠率高斯映射魏因加滕公式高斯绝妙定理高斯-博内定理欧拉示性数亏格可定向曲面不可定向曲面莫比乌斯带克莱因瓶极小曲面悬链面正螺面常曲率曲面伪球面黎曼几何初步黎曼度量黎曼流形列维-奇维塔联络协变导数平行移动曲率张量里奇张量数量曲率截面曲率里奇流外微分微分形式德拉姆上同调斯托克斯定理格林公式高斯公式活动标架法嘉当结构方程复流形初步凯勒流形辛流形初步辛形式泊松括号
代数几何基础 （80个）
仿射代数集仿射簇射影代数集射影簇零点定理扎里斯基拓扑不可约簇簇的维数代数曲线代数曲面有理映射双有理等价奇点光滑点切空间完备簇相交理论贝祖定理除子韦伊除子卡蒂埃除子线丛向量丛可逆层凝聚层层上同调塞尔对偶黎曼-罗赫定理椭圆曲线椭圆曲线群结构椭圆曲线j不变量模形式初步阿贝尔簇雅可比簇皮卡簇霍奇理论初步霍奇分解形变理论模空间曲线的模空间概形初步仿射概形概形态射平展态射光滑态射有限态射分离态射紧合态射
数学分析 (310)
一元微积分 （80个）
实数理论数列极限函数极限极限定义夹逼准则单调有界定理柯西收敛准则无穷小量无穷大量无穷小的阶等价无穷小连续函数间断点最值定理介值定理零点存在定理一致连续导数导数定义求导法则基本初等函数导数复合函数求导隐函数求导参数方程求导高阶导数莱布尼茨公式微分微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒展开麦克劳林展开佩亚诺余项拉格朗日余项洛必达法则函数单调性函数极值函数最值函数凹凸性拐点不定积分基本积分公式换元积分法分部积分法有理函数积分三角函数积分无理函数积分定积分黎曼积分积分中值定理变上限积分牛顿-莱布尼茨公式反常积分无穷限反常积分无界函数反常积分反常积分收敛性比较判别法阿贝尔判别法狄利克雷判别法
多元微积分 （70个）
多元函数多元函数极限多元函数连续性偏导数全微分链式法则隐函数定理雅可比矩阵雅可比行列式方向导数梯度高阶偏导数多元泰勒公式多元函数极值无条件极值条件极值拉格朗日乘数法重积分二重积分三重积分重积分换元法直角坐标积分极坐标积分柱坐标积分球坐标积分曲面面积质心转动惯量含参变量积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式旋度散度场论初步保守场有势场调和场曲线积分与路径无关
级数理论 （60个）
数项级数正项级数比较判别法比值判别法根值判别法积分判别法拉贝判别法交错级数莱布尼茨判别法绝对收敛条件收敛级数重排柯西乘积函数项级数一致收敛魏尔斯特拉斯M判别法阿贝尔判别法狄利克雷判别法和函数连续性和函数可微性和函数可积性幂级数收敛半径收敛区间阿贝尔定理幂级数和函数函数的幂级数展开傅里叶级数三角级数三角函数系正交性傅里叶系数狄利克雷收敛定理正弦级数余弦级数吉布斯现象傅里叶积分傅里叶变换初步
实变函数基础 （50个）
集合的势可数集不可数集连续统假设σ代数博雷尔集勒贝格外测度勒贝格测度可测集卡拉西奥多里条件不可测集可测函数几乎处处收敛依测度收敛叶戈罗夫定理卢津定理勒贝格积分勒贝格控制收敛定理列维定理法图引理富比尼定理绝对连续函数有界变差函数单调函数勒贝格分解拉东-尼科迪姆定理乘积测度测度空间正则测度哈尔测度初步测度弱收敛特征函数
复变函数 （50个）
复数的几何表示复平面复球面无穷远点解析函数柯西-黎曼方程初等解析函数指数函数复三角函数复对数函数复幂函数复积分柯西积分定理柯西积分公式高阶导数公式莫雷拉定理泰勒级数洛朗级数孤立奇点可去奇点极点本性奇点留数留数定理辐角原理儒歇定理最大模原理施瓦茨引理共形映射分式线性变换黎曼映射定理解析延拓多值函数黎曼面初步
概率论与数理统计 (220)
概率论基础 （70个）
随机事件样本空间概率公理古典概型几何概型条件概率全概率公式贝叶斯公式事件的独立性伯努利概型随机变量离散型随机变量分布律连续型随机变量概率密度函数分布函数0-1分布二项分布泊松分布几何分布超几何分布负二项分布均匀分布指数分布正态分布伽马分布贝塔分布对数正态分布二维随机变量联合分布边缘分布条件分布随机变量的独立性二维正态分布随机变量函数的分布数学期望方差标准差协方差相关系数矩协方差矩阵切比雪夫不等式大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律中心极限定理棣莫弗-拉普拉斯定理列维-林德伯格定理
数理统计 （80个）
总体与样本简单随机样本统计量样本均值样本方差样本矩顺序统计量经验分布函数抽样分布卡方分布t分布F分布分位数参数估计矩估计法最大似然估计估计量评选标准无偏性有效性一致性置信区间正态总体均值置信区间正态总体方差置信区间假设检验原假设与备择假设检验统计量拒绝域显著性水平两类错误Z检验t检验卡方检验F检验拟合优度检验列联表独立性检验方差分析单因素方差分析双因素方差分析回归分析一元线性回归最小二乘法多元线性回归逐步回归非线性回归非参数统计秩和检验符号检验bootstrap方法贝叶斯统计先验分布后验分布贝叶斯估计
随机过程 （70个）
随机过程样本函数状态空间有限维分布族柯尔莫哥洛夫定理均值函数协方差函数相关函数平稳过程宽平稳严平稳各态历经性功率谱密度维纳-辛钦定理马尔可夫过程马尔可夫性转移概率转移矩阵齐次马尔可夫链C-K方程平稳分布状态分类常返态非常返态遍历态状态空间分解泊松过程独立增量平稳增量到达时间间隔时间更新过程更新函数更新定理布朗运动鞅停时可选停时定理鞅收敛定理伊藤积分伊藤公式随机微分方程初步扩散过程奥恩斯坦-乌伦贝克过程排队论初步生灭过程M/M/1排队模型
数论 (180)
初等数论 （50个）
整除理论贝祖定理辗转相除法素数分布埃拉托斯特尼筛法同余理论剩余类环欧拉函数费马小定理欧拉定理威尔逊定理中国剩余定理一次同余方程二次剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号原根离散对数伪素数卡迈克尔数数论函数积性函数莫比乌斯函数莫比乌斯反演除数函数连分数循环连分数佩尔方程不定方程勾股数费马大定理初等情形华林问题哥德巴赫猜想孪生素数猜想
代数数论 （60个）
代数数代数整数数域共轭元范数迹判别式整基整数环理想分式理想理想的范数类数类群戴德金整环理想唯一分解素理想分解分歧指数惯性次数分歧理论分解群惯性群分歧群局部域p进数域赋值赋值的扩张整体域代数函数域类域论初步阿贝尔扩张分圆域克罗内克-韦伯定理狄利克雷单位定理单位群狄利克雷特征狄利克雷L函数黎曼ζ函数欧拉乘积函数方程
解析数论 （70个）
黎曼ζ函数解析延拓零点分布临界带临界线黎曼猜想显式公式素数定理素数定理误差项狄利克雷级数狄利克雷定理算术级数素数高斯和雅可比和指数和圆法哈代-李特尔伍德圆法三素数定理筛法布伦筛塞尔伯格筛大筛法孪生素数猜想陈景润定理模形式模群同余子群尖点形式艾森斯坦级数赫克算子模形式的L函数谷山-志村猜想自守形式朗兰兹纲领初步迹公式塞尔伯格迹公式Bombieri-维诺格拉多夫定理素数k元组猜想
离散数学 (160)
集合论与数理逻辑基础 （40个）
集合运算德摩根律容斥原理笛卡尔积二元关系关系的性质等价关系等价类商集偏序关系偏序集哈斯图全序良序函数单射满射双射命题逻辑逻辑联结词真值表合式公式重言式范式析取范式合取范式谓词逻辑量词解释赋值逻辑推理自然推理系统可靠性完备性
组合数学 （60个）
加法原理乘法原理组合恒等式容斥原理应用错排问题递推关系线性递推关系特征方程法生成函数普通生成函数指数生成函数卡特兰数斯特林数贝尔数整数分拆分拆函数杨表鸽巢原理拉姆齐理论拉姆齐数极值集合论斯佩纳定理EKR定理区组设计平衡不完全区组设计有限射影平面编码理论线性码汉明码循环码格雷码组合优化贪心算法动态规划组合博弈尼姆博弈斯普莱格-格伦迪定理
图论 （60个）
图的基本概念邻接矩阵关联矩阵图的同构子图顶点的度握手定理完全图二分图路径回路连通图连通分量最短路径Dijkstra算法树生成树最小生成树Prim算法Kruskal算法根树二叉树哈夫曼树图的遍历深度优先搜索广度优先搜索欧拉路径哈密顿回路旅行商问题图的着色顶点着色边着色四色定理色多项式平面图欧拉公式库拉托夫斯基定理对偶图匹配最大匹配霍尔定理二分图匹配网络流最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法图的连通度割点桥图谱理论随机图Erdős–Rényi模型小世界网络
拓扑学 (90)
点集拓扑 （50个）
拓扑空间开集闭集闭包内部边界邻域基子基度量空间度量拓扑离散拓扑平凡拓扑乘积拓扑子空间拓扑商拓扑连续映射同胚拓扑不变量连通性道路连通性连通分支局部连通紧致性海涅-博雷尔定理列紧局部紧一点紧化分离公理T0-T2公理正则公理正规公理乌雷松引理乌雷松度量化定理可数性公理第一可数第二可数可分空间完备度量空间贝尔纲定理收缩映射原理拓扑流形局部欧氏空间
代数拓扑 （40个）
基本群同伦道路同伦同伦等价形变收缩范坎彭定理覆盖空间万有覆盖单纯同调奇异同调同伦不变性欧拉示性数贝蒂数迈耶-菲托里斯序列奇异上同调德拉姆上同调上同调环杯积庞加莱对偶高阶同伦群纤维化纤维丛正合同伦序列CW复形布劳威尔不动点定理列夫谢茨不动点定理博苏克-乌拉姆定理
计算数学 (100)
数值分析基础 （60个）
误差理论绝对误差相对误差有效数字数值稳定性条件数病态问题拉格朗日插值牛顿插值埃尔米特插值三次样条插值最佳一致逼近最佳平方逼近最小二乘法曲线拟合数值积分牛顿-科茨公式梯形公式辛普森公式复合求积龙贝格积分高斯求积数值微分差分差商常微分方程数值解欧拉法龙格-库塔法线性多步法亚当斯方法刚性方程有限差分法有限元法初步高斯消元法LU分解追赶法雅可比迭代高斯-赛德尔迭代超松弛迭代共轭梯度法稀疏矩阵幂法QR算法非线性方程求根二分法牛顿法割线法
科学计算与优化 （40个）
线性规划单纯形法对偶单纯形法对偶理论整数规划分支定界法割平面法无约束优化梯度下降法牛顿法拟牛顿法BFGS算法有约束优化KKT条件惩罚函数法二次规划凸优化半定规划动态规划遗传算法模拟退火粒子群算法元启发式算法随机梯度下降动量法Adam优化器快速傅里叶变换多重网格法预处理子
运筹学与优化理论 (90)
运筹学基础 （50个）
线性规划标准型基可行解大M法两阶段法互补松弛灵敏度分析运输问题表上作业法指派问题匈牙利算法整数线性规划0-1规划背包问题动态规划基本方程确定性动态规划随机性动态规划网络分析最小费用流网络计划关键路线法PERT存储论经济订货批量报童模型排队系统指标决策论不确定型决策风险型决策决策树矩阵博弈纳什均衡混合策略
优化理论进阶 （40个）
凸分析凸函数次梯度共轭函数Fenchel对偶强对偶Slater条件拉格朗日对偶内点法全局优化多目标优化帕累托最优目标规划层次分析法变分不等式互补问题组合优化近似算法近似比PTAS在线算法竞争比鲁棒优化随机规划两阶段随机规划机会约束规划
密码学与信息论 (80)
密码学 （50个）
对称密码非对称密码古典密码凯撒密码维吉尼亚密码一次一密信息论安全计算安全分组密码DESAES工作模式流密码LFSRRC4公钥密码RSA密码体制大整数分解离散对数密码ElGamalDiffie-Hellman密钥交换椭圆曲线密码数字签名哈希函数MD5SHA系列消息认证码HMAC零知识证明交互式证明非交互式零知识格密码LWE问题后量子密码同态加密安全多方计算秘密共享Shamir秘密共享门限密码
信息论 （30个）
自信息信息熵联合熵条件熵互信息相对熵KL散度交叉熵吉布斯不等式数据处理不等式费诺不等式信源编码定理哈夫曼编码算术编码LZ编码信道容量信道编码定理二元对称信道高斯信道香农公式率失真理论网络信息论多址接入信道广播信道最大熵原理最小描述长度柯尔莫哥洛夫复杂度
集合论与数理逻辑 (80)
公理集合论 （40个）
罗素悖论ZFC公理外延公理空集公理配对公理并集公理幂集公理分离公理替换公理正则公理无穷公理选择公理佐恩引理良序定理序数超限归纳法超限递归基数阿列夫数连续统假设广义连续统假设正则基数奇异基数不可达基数大基数可测基数可构成集可构成公理力迫法独立性证明
数理逻辑 （40个）
命题演算公理系统自然演绎紧致性定理一阶逻辑一阶语言模型解释逻辑后承哥德尔完备性定理勒文海姆-司寇伦定理模型论初步初等等价超积饱和模型证明论切割消去根岑系统递归论递归函数图灵机可计算性丘奇-图灵论题递归可枚举集停机问题哥德尔不完备性定理二阶逻辑模态逻辑直觉主义逻辑
应用数学与交叉学科 (140)
数学物理方法 （50个）
波动方程热传导方程拉普拉斯方程泊松方程分离变量法行波法达朗贝尔公式球坐标分离变量柱坐标分离变量勒让德多项式球谐函数贝塞尔函数柱函数特殊函数伽马函数贝塔函数误差函数椭圆积分格林函数基本解镜像法积分方程弗雷德霍姆积分方程沃尔泰拉积分方程变分法泛函欧拉-拉格朗日方程最速降线等周问题里茨法伽辽金法摄动法正则摄动奇异摄动边界层理论WKB方法渐近展开
金融数学与精算 （40个）
复利与贴现现值终值年金债券定价股息贴现模型投资组合理论均值-方差模型有效前沿资本资产定价模型贝塔系数套利定价理论期权定价布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯公式二叉树期权定价伊藤引理应用风险中性定价鞅测度利率模型Vasicek模型CIR模型信用风险违约概率生命表生存函数危险率函数保费定价准备金寿险精算非寿险精算破产理论调节系数
机器学习与生物数学 （50个）
种群动力学逻辑斯蒂模型洛特卡-沃尔泰拉方程传染病模型SIR模型SEIR模型基本再生数哈迪-温伯格平衡感知机多层感知机反向传播卷积神经网络循环神经网络Transformer注意力机制统计学习理论VC维结构风险最小化PAC学习支持向量机最大间隔核方法聚类分析K均值层次聚类谱聚类主成分分析因子分析独立成分分析最大熵模型条件随机场隐马尔可夫模型贝叶斯网络蒙特卡洛方法马尔可夫链蒙特卡洛吉布斯采样梅特罗波利斯-黑斯廷斯算法