万物公式 · 量化宇宙的数学语言从基础算术到前沿物理，从几何定理到微分方程，掌握描述世界的数学工具。

数学基础公式

代数与初等数学

二次方程求根 · x=(-b±√(b²-4ac))/2a 二项式定理 · (a+b)ⁿ=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k 等差数列 · aₙ=a₁+(n-1)d 等比数列 · aₙ=a₁r^(n-1)对数公式 · log(ab)=loga+logb 指数公式 · a^m·a^n=a^(m+n)欧拉公式 · e^(ix)=cosx+isinx 复数模长 · |z|=√(a²+b²)完全平方公式 · (a±b)²=a²±2ab+b² 平方差公式 · a²-b²=(a+b)(a-b)立方和差公式二项式系数性质

几何与三角学

勾股定理 · a²+b²=c² 圆面积公式 · S=πr² 球体积公式 · V=4/3πr³ 三角形面积 · S=½ab sinC 余弦定理 · c²=a²+b²-2ab cosC 正弦定理 · a/sinA=b/sinB=c/sinC 椭圆面积 · S=πab 锥体体积 · V=⅓Sh 圆柱体积 · V=πr²h 圆锥体积 · V=⅓πr²h 欧拉多面体公式 · V-E+F=2 托勒密定理 · AC·BD=AB·CD+AD·BC

线性代数

特征方程 · det(A-λI)=0 克莱姆法则 · x_i=det(A_i)/det(A)施密特正交化 · u_i=v_i-Σproj 奇异值分解 · A=UΣV^T 矩阵乘法定义 · (AB)_ij=Σa_ik b_kj 逆矩阵公式 · A⁻¹=(1/det)adj(A)范数公式 · ||x||₂=√(Σx_i²)内积公式 · ⟨x,y⟩=Σx_i y_i 向量叉积 · a×b=|a||b|sinθ n 线性变换矩阵表示秩不等式 · rank(AB)≤min(rankA,rankB)

微积分

导数定义 · f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx 链式法则 · (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)积分基本定理 · ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)-F(a)泰勒展开 · f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!分部积分 · ∫u dv=uv-∫v du 高斯积分 · ∫₋∞^∞e^(-x²)dx=√π 拉普拉斯变换 · F(s)=∫₀^∞f(t)e^(-st)dt 傅里叶变换 · F(ω)=∫f(t)e^(-iωt)dt 莱布尼茨法则 · d/dx∫_a^x f(t)dt=f(x)隐函数求导 · dy/dx=-F_x/F_y 洛必达法则 · lim f/g=lim f'/g'

微分方程

一阶线性方程 · y'+P(x)y=Q(x)一阶线性通解 · y=e^{-∫Pdx}(∫Qe^{∫Pdx}dx+C)伯努利方程 · y'+P(x)y=Q(x)yⁿ 欧拉方程 · x²y''+axy'+by=0 二阶常系数齐次 · y''+py'+qy=0 二阶常系数齐次解 · y=e^{rx}二阶常系数非齐次特解波动方程 · ∂²u/∂t²=c²∂²u/∂x² 热传导方程 · ∂u/∂t=α∂²u/∂x² 拉普拉斯方程 · ∇²φ=0

复变函数

柯西积分公式 · f(a)=½πi∮f(z)/(z-a)dz 留数定理 · ∮f(z)dz=2πiΣRes 共形映射 · w=f(z)柯西-黎曼方程 · u_x=v_y, u_y=-v_x 解析函数性质洛朗级数展开

数论与拓扑

威尔逊定理 · (p-1)!≡-1 (mod p)欧拉函数 · φ(n)=nΠ(1-1/p_i)高斯-博内公式 · ∫_M K dA=2πχ(M)欧拉示性数 · χ=V-E+F 素数定理 · π(x)~x/ln x 同余基本性质

优化理论

拉格朗日乘子法 · ∇f=λ∇g KKT条件 · 约束优化条件梯度下降法 · x_{k+1}=x_k-η∇f(x_k)牛顿法迭代 · x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)

物理核心公式

经典力学

牛顿第二定律 · F=ma 动能公式 · E_k=½mv² 势能公式 · E_p=mgh 万有引力公式 · F=Gm₁m₂/r² 动量公式 · p=mv 功的公式 · W=F·s·cosθ 功率公式 · P=W/t=Fv 角动量公式 · L=r×p 简谐振动 · x=Acos(ωt+φ)胡克定律 · F=-kx 单摆周期 · T=2π√(L/g)开普勒第三定律 · T²/a³=常数

热力学

理想气体状态方程 · PV=nRT 热力学第一定律 · ΔU=Q-W 熵变公式 · ΔS=Q_rev/T 卡诺效率 · η=1-T_c/T_h 热传导公式 · Q=kAΔTt/d 玻尔兹曼熵公式 · S=k lnΩ 蒸气压公式 · ln(P)=-ΔH/RT+C 热膨胀公式 · ΔL=αL₀ΔT 麦克斯韦速度分布维恩位移定律 · λ_max=b/T 斯特藩-玻尔兹曼定律 · j=σT⁴

电磁学

库仑定律 · F=kq₁q₂/r² 欧姆定律 · V=IR 安培定律 · ∮B·dl=μ₀I 法拉第定律 · ε=-dΦ/dt 电容公式 · C=Q/V 电感公式 · ε=-L dI/dt 电磁波速度 · c=1/√(μ₀ε₀)坡印廷矢量 · S=E×H 麦克斯韦方程组(微分形式)洛伦兹力 · F=q(E+v×B)高斯定律 · ∇·E=ρ/ε₀

相对论

质能方程 · E=mc² 洛伦兹变换 · x'=γ(x-vt), t'=γ(t-vx/c²)速度加成公式 · u'=(u-v)/(1-uv/c²)四维动量 · p^μ=(E/c, p)相对论动能 · E_k=mc²(γ-1)时间膨胀 · Δt=γΔt₀ 长度收缩 · L=L₀/γ 质能关系完整形式 · E²=(pc)²+(mc²)² 相对论多普勒效应

量子力学

光电效应公式 · E=hν-φ 德布罗意波长 · λ=h/p 海森堡测不准原理 · ΔxΔp≥ħ/2 薛定谔方程 · iħ∂ψ/∂t=Ĥψ 克莱因-戈登方程狄拉克方程 · (iγ^μ∂_μ-m)ψ=0 波恩规则 · P=|ψ|² 对易关系 · [x,p]=iħ 量子隧穿概率黑体辐射公式 · u(λ,T)=8πhc/λ⁵/(e^{hc/λkT}-1)

天体物理

史瓦西半径 · r_s=2GM/c² 哈勃定律 · v=H₀d 光度距离 · d_L=√(L/4πF)开普勒第三定律(引力形式) · T²=4π²r³/GM 爱丁顿光度 · L_Edd=4πGMm_pc/σ_T 潮汐力公式引力透镜方程宇宙临界密度 · ρ_c=3H₀²/8πG

粒子物理

衰变宽度 · Γ=ħ/τ 散射截面 · σ=N_scatter/N_incident 精细结构常数 · α=e²/4πε₀ħc≈1/137 汤川势 · V(r)=-g²e^{-mr}/4πr 费曼规则

凝聚态物理

超导能隙方程 · Δ(T)=Δ₀tanh(1.74√(T_c/T-1))能带计算公式 · E(k)=ħ²k²/2m*布洛赫定理 · ψ_k(r)=e^{ik·r}u_k(r)迈斯纳效应 · B=0 霍尔电导率 · σ_xy=ne²τ/m

流体力学

纳维-斯托克斯方程伯努利方程 · P+½ρv²+ρgh=常数连续性方程 · A₁v₁=A₂v₂ 雷诺数 · Re=ρvd/μ 达西定律 · Q=KAΔh/L 阻力公式 · F_d=½ρv²C_dA 马赫数 · Ma=v/c

化学关键公式

化学计量与溶液

理想气体定律 · PV=nRT 摩尔质量 · M=m/n 浓度公式 · c=n/V 稀释公式 · c₁V₁=c₂V₂ 分压定律 · P_total=ΣP_i 转化率 · α=(n反应/n初始)×100%产率公式 · 产率=实际/理论×100%物质的量分数 · x_i=n_i/n_total 渗透压公式 · π=cRT 沸点升高 · ΔT_b=K_b·m 凝固点降低 · ΔT_f=K_f·m 朗伯-比尔定律 · A=εcl

化学热力学

吉布斯自由能 · ΔG=ΔH-TΔS 反应焓变 · ΔH=ΣΔH_生成物-ΣΔH_反应物熵变公式 · ΔS=Q_rev/T 范特霍夫方程 · ln(K₂/K₁)=-ΔH/R(1/T₂-1/T₁)键能公式 · ΔH=Σ键能(反应物)-Σ键能(生成物)热容公式 · q=mcΔT 溶解热公式 · ΔH_sol=ΔH_hyd-ΔH_lat 电池电动势 · E_cell=E_cathode-E_anode 能斯特方程 · E=E°-(RT/nF)lnQ 法拉第电解定律 · m=(MIt)/(nF)

化学动力学

速率定律 · rate=k[A]^m[B]^n 一级反应 · ln[A]=-kt+ln[A]₀ 二级反应 · 1/[A]=kt+1/[A]₀ 零级反应 · [A]=-kt+[A]₀ 阿伦尼乌斯公式 · k=Ae^(-Ea/RT)半衰期公式 · t₁/₂=ln2/k (一级)活化能公式 · ln(k₂/k₁)=Ea/R(1/T₁-1/T₂)平衡常数 · K=[产物]^系数/[反应物]^系数

电化学与核化学

过电位公式 · η=a+blog i 衰变链方程 · N(t)=N₀e^{-λt}核反应Q值 · Q=(m_i-m_f)c² 放射性活度 · A=λN pH公式 · pH=-log₁₀[H⁺]pOH公式 · pOH=-log₁₀[OH⁻]水的离子积 · K_w=[H⁺][OH⁻]=1×10⁻¹⁴ 酸解离常数 · K_a=[H⁺][A⁻]/[HA]溶度积 · K_sp=[Mⁿ⁺]^m[Xᵐ⁻]^n

工程应用公式

力学与材料工程

应力公式 · σ=F/A 应变公式 · ε=ΔL/L₀ 胡克定律 · σ=Eε 梁弯曲公式 · σ=My/I 剪切应力 · τ=VQ/It 扭转公式 · τ=Tρ/J 疲劳强度 · S_n'=S_ut/2 (钢)安全系数 · n=S_allow/σ_actual 欧拉屈曲公式 · P_cr=π²EI/L²

电气工程

功率公式 · P=VI=I²R=V²/R 阻抗公式 · Z=√(R²+(X_L-X_C)²)感抗公式 · X_L=2πfL 容抗公式 · X_C=1/(2πfC)谐振频率 · f₀=1/(2π√(LC))分贝公式 · dB=10log(P₂/P₁)传输线特性阻抗 · Z₀=√(L/C)RC时间常数 · τ=RC RL时间常数 · τ=L/R

信号处理与控制

卷积公式 · (f*g)(t)=∫f(τ)g(t-τ)dτ 数字滤波器传递函数 · H(z)=Y(z)/X(z)采样定理 · f_s>2f_max PID控制器公式 · u(t)=K_pe+K_i∫e dt+K_d de/dt 传递函数 · G(s)=Y(s)/X(s)根轨迹条件 · |G(s)H(s)|=1, ∠G(s)H(s)=180°Z变换定义 · X(z)=Σx[n]z^{-n}

热工工程

热传导 · q=-k dT/dx 对流传热 · q=hAΔT 辐射传热 · q=σεAT⁴ 努塞尔数 · Nu=hd/k 普朗特数 · Pr=ν/α 传热系数 · U=1/(1/h₁+δ/k+1/h₂)效率公式 · η=W_out/Q_in 制冷系数 · COP=Q_c/W_in

金融数学公式

利息与估值

单利公式 · A=P(1+rt)复利公式 · A=P(1+r/n)^(nt)连续复利 · A=Pe^(rt)有效年利率 · EAR=(1+r/n)^n-1 现值公式 · PV=FV/(1+r)^n 年金现值 · PV=PMT×[1-(1+r)^-n]/r 年金终值 · FV=PMT×[(1+r)^n-1]/r 贷款月供 · PMT=PV×r/(1-(1+r)^-n)

投资分析

净现值 · NPV=ΣCF_t/(1+r)^t 内部收益率 · IRR: ΣCF_t/(1+IRR)^t=0 回收期 · PP=初始投资/年现金流入盈利指数 · PI=未来现金流现值/初始投资 CAPM模型 · R_i=R_f+β_i(R_m-R_f)夏普比率 · SR=(R_p-R_f)/σ_p 贝塔系数 · β=Cov(R_i,R_m)/Var(R_m)波动率 · σ=√[Σ(R_i-μ)²/(n-1)]

期权定价

Black-Scholes · C=S₀N(d₁)-Ke^(-rt)N(d₂)d₁公式 · [ln(S₀/K)+(r+σ²/2)t]/σ√t d₂公式 · d₁-σ√t 德尔塔 · Δ=N(d₁)伽马 · Γ=N'(d₁)/(S₀σ√t)维伽 · Vega=S₀N'(d₁)√t 西塔 · Θ=-(S₀N'(d₁)σ)/(2√t)-rKe^(-rt)N(d₂)柔 · Rho=Kte^(-rt)N(d₂)

风险管理

VAR值 · VAR=μ-ασ (95%置信)方差-协方差 · σ_p=√(w₁²σ₁²+w₂²σ₂²+2w₁w₂σ₁σ₂ρ)久期 · D=Σ[t×PV(CF_t)]/ΣPV(CF_t)凸性 · C=Σ[t(t+1)×PV(CF_t)]/[ΣPV(CF_t)×(1+r)²]最大回撤 · MDD=(Peak-Trough)/Peak 信息比率 · IR=α/σ(α)追踪误差 · TE=√[Σ(R_p-R_b)²/(n-1)]风险价值 · ES=E[L|L>VAR]

自然常数公式

数学常数

圆周率 · π≈3.1415926535 自然常数 · e≈2.7182818284 黄金比例 · φ=(1+√5)/2≈1.6180 欧拉-马歇罗尼常数 · γ≈0.5772 虚数单位 · i²=-1 黎曼ζ函数 · ζ(s)=Σₙ=1^∞ 1/nˢ 卡塔兰常数 · G≈0.915965594 Feigenbaum常数 · δ≈4.6692016091

物理常数

光速 · c=299792458 m/s 普朗克常数 · h=6.62607015×10⁻³⁴ J·s 引力常数 · G=6.67430×10⁻¹¹ m³/(kg·s²)玻尔兹曼常数 · k=1.380649×10⁻²³ J/K 电子电荷 · e=1.602176634×10⁻¹⁹ C 电子质量 · m_e=9.1093837015×10⁻³¹ kg 质子质量 · m_p=1.67262192369×10⁻²⁷ kg 精细结构常数 · α≈1/137.036 真空介电常数 · ε₀≈8.854×10⁻¹² F/m 阿伏伽德罗常数 · N_A=6.02214076×10²³ mol⁻¹ 气体常数 · R=8.314462618 J/(mol·K)

自然规律方程

斐波那契数列 · Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂ logistic映射 · xₙ₊₁=rxₙ(1-xₙ)曼德博集合 · zₙ₊₁=zₙ²+c 分形维数 · D=logN/log(1/r)人口增长 · dN/dt=rN(1-N/K)放射性衰变 · N(t)=N₀e^(-λt)牛顿冷却定律 · dT/dt=-k(T-T_env)Lotka-Volterra方程 · dx/dt=αx-βxy, dy/dt=δxy-γy

生物与认知科学

生物统计学与遗传

Hardy-Weinberg平衡 · p²+2pq+q²=1 遗传力公式 · h²=V_G/V_P 选择响应 · R=h²S 连锁不平衡 · D=x₁₁x₂₂-x₁₂x₂₁ 遗传距离 · d=-ln(1-P)分子钟 · t=K/2μ

神经科学

Hodgkin-Huxley方程 · I=C_m dV/dt + g_K n⁴(V-V_K)+g_Na m³h(V-V_Na)+g_l(V-V_l)Hebbian学习规则 · Δw=η x y 突触可塑性 · τ dw/dt = -w + η x y 放电率编码 · r=f(s)神经场方程 · τ∂u/∂t=-u+∫w(x-x')f(u)dx'+I(x,t)

认知心理学

希克定律 · RT=a+b log₂(n)费茨定律 · MT=a+b log₂(2D/W)韦伯定律 · ΔI/I=k 史蒂文斯幂定律 · ψ=kφ^a 信号检测论 · d'=z(H)-z(F)

计算机科学公式

算法与复杂度

主定理 · T(n)=aT(n/b)+f(n)快速排序时间复杂度 · O(n log n)二分查找 · O(log n)动态规划最优化原理贪心选择性质

密码学与安全

RSA加密 · C=M^e mod n, M=C^d mod n 椭圆曲线方程 · y²=x³+ax+b 哈希碰撞概率 · 生日悖论 Shannon熵 · H(X)=-Σp_i log p_i 完美保密条件 · P(M=m|C=c)=P(M=m)

机器学习

梯度下降 · θ_{t+1}=θ_t-η∇L(θ_t)交叉熵损失 · L=-Σy_i log ŷ_i softmax函数 · σ(z)_i=e^{z_i}/Σe^{z_j}反向传播 · δ^l=( (w^{l+1})^T δ^{l+1}) ⊙ σ'(z^l)神经网络激活函数 · ReLU=max(0,x)Sigmoid函数 · σ(x)=1/(1+e^{-x})正则化 · L2: Ω(θ)=½||w||₂² 注意力机制 · Attention(Q,K,V)=softmax(QK^T/√d_k)V

信息论

香农信息熵 · H=-Σp_i log₂ p_i 互信息 · I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)信道容量 · C=max I(X;Y)KL散度 · D_KL(P||Q)=Σp_i log(p_i/q_i)数据压缩下限 · H ≤ L < H+1

统计学公式

基础统计

样本均值 · x̄=Σx_i/n 样本方差 · s²=Σ(x_i-x̄)²/(n-1)标准差 · s=√s² 协方差 · Cov(X,Y)=E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)]相关系数 · ρ=Cov(X,Y)/σ_Xσ_Y

概率分布

正态分布 · f(x)=1/√(2πσ²)e^{-(x-μ)²/2σ²}二项分布 · P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}泊松分布 · P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!指数分布 · f(x)=λe^{-λx}均匀分布 · f(x)=1/(b-a)

推断统计

t统计量 · t=(x̄-μ)/(s/√n)z统计量 · z=(x̄-μ)/(σ/√n)卡方统计量 · χ²=Σ(O-E)²/E F统计量 · F=s₁²/s₂² 置信区间 · x̄ ± z_{α/2}·σ/√n p值定义 · p=P(检验统计量≥观察值|H₀)

回归分析

线性回归 · y=β₀+β₁x+ε 最小二乘估计 · β̂=(X^T X)^{-1}X^T y R²决定系数 · R²=1-SS_res/SS_tot 调整R² · R̅²=1-(1-R²)(n-1)/(n-k-1)逻辑回归 · log(p/(1-p))=β₀+β₁x

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